È possibile risolvere il paradosso anche applicando il Teorema di Pitagora nel triangolo di Minkowski.
Secondo la geometria euclidea, il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Nella geometria di Minkowski, invece, dove abbiamo visto che l'ipotenusa ha una dimensione inferiore alla somma dei cateti, il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla differenza dei quadrati costruiti sui cateti.
Sistema di riferimento terrestre
Costruiamo il triangolo nel sistema di riferimento terrestre, questa volta con il tempo posto in direzione verticale.
Esaminiamo solo il viaggio di ritorno, visto che numericamente è uguale a quello di andata.
La linea oraria della Terra (colore nero) è verticale perché Arturo non è in movimento. Su questa è indicato l'evento “O”, nel 3010, quando l'astronave inizia il suo viaggio di ritorno. L'evento “Arrivo dell'astronave sulla Terra - A” è previsto nel 3020.
Nel triangolo si trova anche la linea di simultaneità dell'astronave (in arancione) che incrocia la linea oraria terrestre in C nel 3016,4. Per questa linea e il suo valore si veda la pagina sulla simultaneità e anche i calcoli fatti nella pagina precedente.
La retta della luce, in celeste, è inclinata di 45° e incrocia il segmento OA in “L” nel 3018.
La base del triangolo è la linea di simultaneità terrestre, che rappresenta la distanza tra la Terra e la Stella (8 a.l.).
Sappiamo che l'evento “Basilio arriva sulla Stella” - nel 3006 - è contemporaneo dell'evento “O” nel 3010 (OS = 8). Sappiamo anche che l'evento “Arrivo dell'astronave sulla Terra” è previsto nel 3020, quindi il viaggio di ritorno (OA) dura 10 anni terrestri. Quanto dura il viaggio di ritorno per Basilio, rappresentato dalla linea oraria dell'astronave, in rosso (SA), che è inclinata perché l'astronave si muove a una velocità di 0,8 c?
Applichiamo questo strano Teorema di Pitagora al triangolo OSA per trovare l'ipotenusa SA.
SA = √(OA2 - OS2) = √(102 - 82) = 6 anni
Considerando il viaggio completo, Arturo invecchia di 20 anni e Basilio di 12, come abbiamo visto anche nelle pagine precedenti.
Sistema di riferimento dell'astronave
Costruiamo ora il triangolo nel sistema di riferimento dell'astronave, dove Basilio è fermo sull'astronave mentre la Terra si avvicina.
La linea oraria dell'astronave, in rosso, è ora verticale, mentre la linea oraria della Terra è inclinata perché si muove a una velocità di 0,8 c. Queste due rette si incontrano nell'evento A, “Arrivo dell'astronave sulla Terra” con un angolo α, uguale a quello del grafico precedente, perché la velocità con cui la Terra si avvicina all'astronave è la stessa con cui l'astronave si allontana dalla Terra.
Poiché Basilio resta fermo per 6 anni (del suo tempo!) sull'astronave, la lunghezza del segmento SA è inferiore a quella del grafico precedente.
La retta della luce forma ancora un angolo di 45° perché la velocità della luce è sempre la stessa in ogni sistema di riferimento. Questa incrocia la linea oraria terrestre nell'evento “L” (3018), come prima, e fornisce un riferimento per stabilire la lunghezza del segmento OA. LA è uguale a 2 e se lo moltiplichiamo per 5 abbiamo la lunghezza graficamente corretta del segmento.
Dobbiamo però dimostrare che OA rappresenta effettivamente 10 anni di avvicinamento della Terra. Per farlo ci serviamo di un altro dato a disposizione: l'evento “C”, in cui la linea di simultaneità dell'astronave, che è disposta orizzontalmente (relatività della simultaneità - che vedremo nella prossima pagina), incrocia quella terrestre nel 3016,4. La lunghezza del segmento CA è 3,6 anni (3020 - 3016,4 = 3,6).
Applichiamo ancora il Teorema di Pitagora al triangolo CSA per trovare il cateto CS.
CA = √(SA2 + CA2) = √(62 + 3,62) = 4,8 a.l.
E 4,8 a.l. che cos'è? È la distanza tra la Terra e la Stella nel sistema di riferimento dell'astronave, che avevamo già calcolato in precedenza. Ne consegue che la costruzione del triangolo è corretta e il segmento OA corrisponde esattamente a 10 anni terrestri.
Proviamo a calcolare matematicamente gli anni di Arturo, però serve un po’ di trigonometria.
Per prima cosa prolunghiamo l’altezza del triangolo, che è la linea oraria dell’astronave. Tracciamo poi la retta di simultaneità passante per O, che è parallela al segmento CS. Questa incontra la precedente nell’evento “X”, con data 3003,6. Per la linea e la data si veda la pagina successiva.
Ora conosciamo il cateto AX, che misura 3020 - 3003,6 = 16,4 anni.
Ci serve anche l’angolo α e per trovarlo facciamo questa operazione:
α = arctan(CS/SA) = arctan(0,8) = 38, 66°
Con l’angolo α e il cateto SA possiamo trovare OX.
OX = AX tan(α) = 16,4 ∙ tan(38,66) = 13 a.l.
Finalmente possiamo applicare il nostro particolare Teorema di Pitagora.
OA = √(AX2 - OX2) = √(268,96 - 169) = 10 anni
Il viaggio di avvicinamento della Terra con Arturo dura 10 anni che sommati ai 10 anni dell’allontanamento si ottengono 20 anni.
Basilio, invece, resta fermo sull’astronave 6 + 6 = 12 anni
Anche in questo sistema di riferimento Arturo invecchia di 20 anni e Basilio di 12, perciò Basilio è più giovane di Arturo e il paradosso risulta inesistente con il Teorema di Pitagora.