Il redshift o effetto Doppler relativistico è uno dei tre tipi di redshift. Il secondo è il redshift cosmologico che abbiamo presentato qui, mentre il terzo è il redshift gravitazionale, che affronteremo nella pagina sulla gravità.
Nel proporre il paradosso e le relative soluzioni, non solo abbiamo trascurato l'accelerazione, ma abbiamo considerato equivalenti (sbagliando) le tappe di andata e ritorno. Così però non è perché, invece di due, abbiamo 3 sistemi inerziali (si ha uno stato inerziale quando un corpo è in quiete o in moto rettilineo uniforme):
- della Terra, in cui Arturo rimane in quiete nello stesso sistema inerziale per tutto il tempo del viaggio del gemello,
- dell'astronave all'andata, in cui Basilio si trova in quiete all'interno di un sistema che si allontana dalla Terra,
- dell'astronave al ritorno, dove Basilio è in quiete in un sistema che si muove verso la Terra.
I due sistemi di andata e ritorno sono diversi e per comprenderlo dobbiamo fare una premessa.
La relatività ci dice che la luce ha una velocità costante e finita perciò, quando guardiamo un oggetto lontano, non lo vediamo com'è adesso ma com'era nel momento in cui ha emesso i fotoni che sono giunti a noi. Ad esempio, il Sole - distante 150 milioni di km - lo vediamo com'era 8,5 minuti fa.
Sistema di riferimento terrestre
Nel viaggio di andata l'astronauta si allontana dalla Terra, come anche dalla sorgente di fotoni da essa emessi. La partenza è avvenuta nell'anno 3000 terrestre, la data prevista di arrivo alla Stella è il 3010 terrestre ma arriva nel 3006 secondo l'astronave: non è aumentata la velocità della navicella (che abbiamo supposto in moto uniforme), ma è rallentato il tempo di un fattore 0,6 calcolato in precedenza.
Se Basilio potesse guardare verso la Terra con uno strumento avveniristico, vedrebbe rallentare il tempo terrestre del 60%.
A questo però si deve sommare un ulteriore rallentamento, che aumenta man mano che l'astronave si allontana - fotoni della Terra e navicella si allontanano nella stessa direzione -, perché la luce deve avere il tempo di raggiungerla.
Il rallentamento (o l'accelerazione) degli orologi visti da un osservatore in movimento è chiamato effetto Doppler relativistico.
In prossimità della Stella l'orologio di bordo di Basilio segna l'anno 3006 tuttavia, scrutando verso la Terra non vedrebbe il 3010, anno di arrivo previsto secondo il riferimento terrestre, ma una data nel passato, precisamente il 3002, tanto ha impiegato la luce per giungere fin lì. Le linee celesti dei grafici precedenti rendono visivamente l'idea di quanto succede. Sembra quindi che l'orologio terrestre abbia funzionato a ⅓ della velocità (2 anni terrestri ma 6 dell'astronave) contro il 60% previsto. La differenza è dovuta all'effetto Doppler.
Basilio dunque giunge sulla Stella nel 3006, ma Arturo vede l'evento solo nel 3018 perché bisogna tenere conto del tempo che la luce impiega per arrivare sulla Terra.
In pratica, Basilio impiega 6 anni invece di 10 ad arrivare sulla Stella e Arturo vede il suo arrivo 18 anni dopo la partenza (8 anni dall'arrivo sulla Stella), quindi Arturo calcola che l'orologio di Basilio ha funzionato a ⅓ della velocità del suo. Ma non è la velocità effettiva dell'orologio - che Arturo non può vedere -, il quale continua a funzionare a una velocità del 60%, secondo la dilatazione temporale. La differenza dipende dall'effetto Doppler.
La situazione, dal punto di vista temporale, dei due osservatori è simmetrica.
Giunto alla Stella fa un'inversione di rotta e quindi cambia sistema di riferimento: in questo momento non è più un osservatore inerziale, al quale ritorna mentre si dirige verso la Terra, sempre supponendo una velocità costante, perciò i sistemi di riferimento di Arturo e di Basilio non sono equivalenti.
In questa seconda parte del viaggio l'astronave va incontro alla luce che proviene dalla Terra (il verso è opposto rispetto al moto dell'astronave) perciò al rallentamento dovuto alla dilatazione temporale, in questo caso si deve aggiungere l'accelerazione prodotta dall'effetto Doppler.
Arturo “vede” la partenza di Basilio dalla Stella nel 3018 e lo vede effettivamente arrivare sulla Terra nel 3020, come se il ritorno durasse solo 2 anni. Ciò significa che vede l'orologio dell'astronave compiere 6 anni stellari in 2 terrestri, cioè lo vede correre 3 volte più del suo: l'orologio sembra accelerare invece di rallentare: l'effetto Doppler prevale su quello di dilatazione temporale, mentre in realtà è più lento del 60% rispetto al suo.
Che cosa vede invece Basilio dalla sua navicella? Riparte nell'anno 3006 astronave e ritorna nell'anno che per lui è il 3012. Quando era arrivato alla Stella, vedeva l'orologio terrestre segnare il 3002 e, dovendo atterrare nel 3020, vuol dire che dovrà avanzare di 18 anni terrestre in 6 anni dell'astronave. Il tempo terrestre sembra scorre 3 volte più veloce di quello stellare. Se però si toglie l'effetto Doppler, l'orologio terrestre avanza in realtà più lentamente di quello dell'astronave.
Concludendo, sia all'andata, sia al ritorno, l'astronave subisce una dilatazione temporale pari al 60% del tempo terrestre. C'è però l'effetto Doppler: all'andata c'è un rallentamento che, tuttavia, è compensato in pari misura dall'accelerazione che si verifica nel ritorno, perciò alla fine sono comunque passati 20 anni terrestri e 12 per l'astronave.
Sistema di riferimento dell'astronave
E se è Arturo ad allontanarsi insieme alla Terra mentre Basilio è fermo nella sua navicella? Il discorso deve valere ugualmente.
Quando la Terra si allontana e si avvicina all'astronave, l'orologio rallenta del 60% per la dilatazione temporale di un fattore 0,6. All'andata si aggiunge il rallentamento di ⅓ per l'affetto Doppler e un'accelerazione di 3× al ritorno che compensa il rallentamento. Tralasciamo i calcoli, già visti nei paragrafi precedenti.
Alla fine, Arturo invecchierà di 20 anni e Basilio 12.
Ancora una vota si conferma che Basilio è più giovane di Arturo e il paradosso non esiste.