Per chiarire, si propone il noto paradosso dei gemelli, di cui diamo una spiegazione, attraverso diversi approcci, che a qualcuno possono sembrare approssimativi e imprecisi, ma fornire argomentazioni complesse esula dallo scopo di questo sito. Inoltre, non abbiamo esperti in questo specifico settore, per questo si prega di segnalare eventuali errori.
Immaginiamo che sulla Terra ci siano due gemelli, Arturo e Basilio. Il primo, è un tipo sedentario e non ama allontanarsi molto da casa mentre Basilio, avventuroso, vuole fare un lungo viaggio verso una Stella lontana con un'astronave velocissima, in grado di raggiungere quasi la velocità della luce.
Basilio parte e dopo diverso tempo raggiunge la Stella. Durante questo periodo ciascuno dei fratelli vede scorrere il tempo normalmente dal proprio orologio, che è solidale con il sistema di riferimento di ciascun gemello (orologio e gemello hanno la stessa velocità, rispettivamente della Terra e dell'astronave).
Se però fosse possibile ad Arturo scrutare dalla Terra l'orologio a bordo dell'astronave, vedrebbe le lancette rallentare sempre più, all'aumentare della velocità del velivolo spaziale e, viceversa, Basilio vedrebbe l'orologio di Arturo correre più velocemente rispetto al suo.
Arrivato alla Stella, Basilio decide di tornare sulla Terra, rientrando nel sistema di riferimento temporale del fratello Arturo. All'incontro, Basilio scopre che il fratello è ora più vecchio di lui, poiché il nostro astronauta, cambiando sistema di riferimento temporale, ha ottenuto come effetto il rallentamento del tempo*.
* Una precisazione. Quando parliamo di rallentamento del tempo, significa che un osservatore esterno in quiete rileva effettivamente una modifica dello scorrere del tempo, ma questo non significa che il corpo in movimento, in questo caso il pilota all'interno di un'astronave, noti qualcosa di diverso nelle sue attività normali o sull'avanzare dei suoi orologi.
Sistema di riferimento terrestre
Facciamo un po' di calcoli, per dimostrare che i gemelli hanno età diverse.
Arturo vive il suo tempo proprio, rimanendo fermo sulla Terra, supponendola immobile per semplicità.
Anche la Stella si considera immobile e il suo tempo è sincronizzato con quello terrestre. Inoltre, durante il viaggio del gemello, l'intervallo temporale tra la partenza e l'arrivo è un tempo proprio all'interno del suo sistema.
Immaginiamo che i gemelli abbiano 30 anni al momento della partenza e si trovino all'inizio dell'anno 3000.
L'astronauta Basilio vuole raggiungere una Stella distante 8 anni luce. Per semplificare, trascuriamo il tempo di accelerazione e decelerazione dell'astronave.
Se la sua astronave potesse viaggiare alla velocità della luce, impiegherebbe 8 anni per arrivare alla Stella ma, purtroppo, può solo arrivare a 240.000 km/s, cioè ⅘ della velocità della luce (0,8 c), perciò impiega:
t = s/v = 8 a.l. × 5/4 = 10 anni
t
è
tempo proprio
misurato sulla Terra con un solo orologio
Il viaggio di andata e ritorno dura dunque 20 anni e l'anno previsto per il ritorno è 3020.
Al ritorno del viaggio di Basilio, nel 3020, Arturo ha:
30 + 20 = 50 anni
Per Basilio, invece, che ha subito gli effetti relativistici della dilatazione temporale, non sono trascorsi 20 anni.
Vediamo quanti sono per lui, cioè qual è il suo tempo proprio.
Dalla formula presente nella pagina precedente ricaviamo t:
t = 20 √(1 - 0,82) = 20 × 0,6 = 12 annidove
t
0 è il tempo sulla Terra e
t
il tempo sull'astronave
t è tempo improprio per Arturo, misurato da Terra, perché gli eventi di partenza e arrivo alla Stella avvengono in luoghi diversi, distanti tra loro (ci riferiamo solo all'andata o al ritorno), mentre t0 è il tempo proprio, ma t è il tempo proprio dell'astronauta, che non si è mosso dal suo sedile all'interno dell'astronave ed è quello che abbiamo calcolato.
Basilio, alla fine del viaggio, ha:
30 + 12 = 42 anni
I fratelli non sono più gemelli!
(Crediti: fonte non reperita)
Dove sta il paradosso? Non nel fatto che Arturo sia invecchiato più di Basilio.
Sistema di riferimento dell'astronave
Cambiamo punto di vista o, più precisamente, sistema di riferimento.
L'astronauta Basilio, seduto in quiete sulla sua astronave, dall'oblò vede la Terra diventare sempre più piccola e distante: in questo caso è la Terra che si allontana dalla navicella, mentre quest'ultima rimane ferma. Se potesse vedere l'orologio di Arturo, noterebbe un rallentamento man mano che la Terra si distanzia e perciò sarebbe quest'ultimo a subire la dilatazione temporale. Al suo ritorno, cioè quando la Terra si avvicina alla navicella spaziale, questa volta è Basilio a ritrovarsi più vecchio del gemello Arturo.
Ancora un po' di calcoli.
La Terra si allontana dalla navicella alla velocità di 0,8 c e poi torna indietro.
Il tempo trascorso da Basilio sull'astronave prima di rivedere il fratello è di 12 anni secondo il suo calendario, quindi Basilio avrà:
30 + 12 = 42 anni
Applichiamo nuovamente la formula dove, questa volta, t0 è il tempo trascorso sull'astronave e t il tempo sulla Terra.
t = 12 √(1 - 0,82) = 12 × 0,6 = 7,2 anni
Ora Arturo ha:
30 + 7 = 37 anni
Questo è il paradosso!
In base al sistema di riferimento che usiamo, un gemello si ritrova più vecchio o più giovane dell'altro e non è possibile affermare quale dei due sistemi sia corretto e questo perché la relatività ci dice che non esiste un sistema privilegiato rispetto a un altro.
RIFERIMENTO TERRA | RIFERIMENTO ASTRONAVE | ||
---|---|---|---|
ARTURO 50 | BASILIO 42 | ARTURO 37 | BASILIO 42 |
La soluzione del paradosso
Poiché Arturo non può essere contemporaneamente più vecchio o più giovane di Basilio, ci deve essere una falla da qualche parte nel ragionamento.
Il fatto è che si sono considerate le due situazioni come simmetriche. In realtà, scopriremo nelle prossime pagine che le condizioni non sono equivalenti perché Basilio lascia il sistema di riferimento terrestre e, dopo essere arrivato alla Stella, cambia riferimento per ritornare, mentre Arturo non lascia mai il suo sistema di riferimento terrestre. Le premesse sono quindi errate: le due situazioni non sono simmetriche perché cambiando il sistema di riferimento il tempo non si conserva, perciò il paradosso è falso. E quindi?
La stragrande maggioranza degli esperti ritiene che la prima situazione sia corretta: l'astronauta Basilio invecchia meno del sedentario Arturo con tutti i sistemi di riferimento, anche se qualcuno dice che il paradosso non ha senso o che i gemelli hanno mantenuto la stessa età.
Alcuni studiosi si concentrano sulla relatività della simultaneità e sull'asimmetria dei due sistemi di riferimento di cui abbiamo detto sopra e che un gemello venga a trovarsi nei due sistemi mentre l'altro no, perciò propongono soluzioni nell'ambito della Relatività Ristretta (o Speciale).
Altri, invece, danno peso all'accelerazione sperimentata dall'astronauta (che noi abbiamo trascurato nell'esposizione precedente) e ritengono che la soluzione derivi solo dall'applicazione della Relatività Generale.
Una precisazione importante. In questa pagina abbiamo affrontato il problema considerando i tragitti di andata e ritorno come equivalenti, ma le cose non stanno in realtà così, come vedremo nella pagina del redshift relativistico. Per il momento preferiamo procedere per gradi, aggiungendo gli elementi un po' alla volta.