Ampliamo il discorso aggiungendo un'altra esperienza.
Il viaggio di andata e ritorno verso la Stella, distante 8 a.l., a una velocità di 0,8 c, dura 12 anni per Basilio, a causa della dilatazione temporale, mentre trascorrono 20 anni per Arturo.
Prima di partire, nell'anno 3000, i due gemelli concordano di mantenersi reciprocamente in contatto inviandosi un potente impulso luminoso (va bene qualsiasi sorgente elettromagnetica) una volta l'anno (secondo il proprio orologio), nello stesso giorno (es. 1° gennaio, che è anche il giorno deciso per la partenza). Ognuno lo invia alla data fissata, indipendentemente dall'avere ricevuto o no il segnale dal gemello.
Sistema di riferimento terrestre
Costruiamo il grafico dal punto di vista terrestre.
In ascissa lo spazio-tempo x e in ordinata il tempo ct. La linea della luce, in celeste, è inclinata di 45° e anche i lampi emessi da Arturo (in azzurro) e Basilio (in verde) hanno la stessa angolazione.
La linea oraria di Arturo è la verticale in nero, essendo fermo, suddivisa in anni terrestri (20). La spezzata in rosso rappresenta la linea oraria del viaggio di Basilio all'andata e al ritorno.
Impulsi inviati da Arturo
Dal primo anno (3001 terrestre) Arturo comincia a mandare regolarmente gli impulsi (pallini rosa, linee azzurre), in totale 20.
A Basilio, durante il viaggio di andata, ne arrivano, a intervalli regolari, solo 2 in 6 anni (misurati secondo l'orologio dell'astronave!). Infatti, applicando la seguente formula:
f = f0 √ (1 - v/c)/(1 + v/c)
Alla velocità di 0,8 c si ha una riduzione della frequenza dei segnali ricevuti pari a ⅓, facendo sembrare l'orologio terrestre avanzare di ⅓ rispetto al normale e ritenendo che Arturo invecchi più lentamente (60%), considerando che il ritardo della luce aumenta di a una velocità di 0,8 secondi al secondo.
Questo accade perché l'astronave si sta allontanando dalla Terra e genera l'effetto Doppler relativistico: la frequenza della radiazione elettromagnetica diminuisce quando l'astronave si allontana (“spostamento verso il rosso”) e aumenta quando si avvicina (“spostamento verso il blu”).
Complessivamente si sommano due effetti: la dilatazione temporale con un fattore 0,6 (10 anni terrestri corrispondono a 6 sull'astronave) e il ritardo progressivo della luce (da 0 a 8 anni).
Nei 6 anni del ritorno, Basilio riceve gli altri 18 segnali. In effetti, Secondo la formula:
f = f0 √ (1 + v/c)/(1 - v/c)
quando una sorgente si avvicina alla velocità di 0,8 c, la frequenza aumenta di 3 volte: effetto Doppler con “spostamento verso il blu”. L'orologio del gemello questa volta sembra accelerare.
Questa simmetria dei rapporti (1 : 3) misurati dai due gemelli dipende dalla dilatazione temporale relativistica. Se non ci fosse, cioè se si fosse in presenza del solo effetto Doppler, il rapporto avrebbe un valore per chi si allontana e un altro per chi sta fermo.
Impulsi inviati da Basilio
Dal primo anno (3001 astronave) Basilio comincia a mandare con regolarità gli impulsi (pallini blu, linee verdi).
In 6 anni (dell'astronave) dell'andata ne vengono inviati 6 però Arturo li riceve, a ritmo regolare, in 18 anni. Anche qui, a causa dell'allontanamento dalla Terra, la frequenza appare di ⅓ di quella del trasmettitore e quindi “spostata verso il rosso” e l'orologio sembra rallentare in uguale misura, ritenendo che Basilio rallenti il suo invecchiamento al 60% rispetto al proprio.
Dopo che l'astronave si è girata, cambiando sistema inerziale, nei 6 anni di ritorno Basilio invia altrettanti segnali, ma Arturo li riceve concentrati in 2 anni, con frequenza quindi aumentata di 3 volte (“spostamento verso il blu”) e deduce che l'orologio del gemello acceleri di 3 volte.
Quando i due gemelli si incontrano alla fine del viaggio, fanno le loro considerazioni sul numero di segnali.
Arturo riceve segnali al ritmo di 1 ogni 3 anni per i primi 18 anni e poi al ritmo di 3 all'anno per gli ultimi 2 anni. Ciò equivale a un totale di ½ × 18 + 3 × 2 = 12 segnali.
Basilio riceve segnali al ritmo di 1 ogni 3 anni per i primi 6 anni e poi al ritmo di 3 all'anno per gli ultimi 6 anni. Ciò equivale a un totale di ½ × 6 + 3 × 6 = 20 segnali.
I gemelli concordano sul numero dei segnali inviati e ricevuti e, avendo l'astronauta avuto meno tempo per emettere segnali rispetto al terreste, confermano che Basilio ha subito una dilatazione temporale, perciò il viaggio di Basilio è durato 12 anni, mentre sono trascorsi 20 anni sulla Terra.
Concordano, inoltre, che durante il viaggio di andata, ciascuno ha considerato l'orologio dell'altro rallentare a ⅓ della velocità, avendo ricevuto ⅓ dei segnali inviati, e accelerare di 3× nel percorso di ritorno.
La situazione sembra simmetrica, ma non lo è perché bisogna considerare anche la frequenza.
È vero che quando l'astronave si allontanava dalla Terra ciascuno riceveva segnali a bassa frequenza (“spostati verso il rosso”) ed erano ad alta frequenza in fase di avvicinamento, ma la quantità di ciascun tipo era diversa tra i gemelli. Da qui deriva l'asimmetria.
Per l'astronauta i segnali a bassa e ad alta frequenza occupano porzioni uguali del viaggio, mentre per Arturo i segnali a bassa frequenza si osservano durante il 90% del viaggio. Inoltre, Basilio ha ricevuto pochi segnali spostati verso il rosso, mentre Arturo ne ha ricevuti la metà. Dal punto di vista dell'astronauta, quindi, il rallentamento del tempo del gemello terrestre è più che superato dal periodo in cui l'invecchiamento è rapido.
In particolare, Basilio vede i lampi a bassa frequenza per 6 anni del viaggio di andata e nel frattempo vede Arturo invecchiare di 6 × ⅓ = 2 anni.
Nei 6 anni del ritorno riceve solo segnali ad alta frequenza e vede invecchiare Arturo di 6 × 3 = 18 anni.
Alla fine del viaggio Arturo è invecchiato di 2 + 18 = 20 anni.
Arturo riceve segnali a bassa frequenza per 18 anni, mentre vede invecchiare Basilio di 18 × ⅓ = 6 anni.
Negli altri 2 anni riceve segnali ad alta frequenza e vede invecchiare Basilio di 2 × 3 = 6 anni.
Alla fine del viaggio Basilio è invecchiato di 6 + 6 = 12 anni.
Il paradosso pertanto non esiste e Basilio è più giovane di Arturo.
Sistema di riferimento dell'astronave
Proviamo ora a cambiare sistema di riferimento per avere un'ulteriore conferma.
Questa volta mettiamo come riferimento fisso l'astronave alla partenza.
I primi 6 anni dell'astronave (in rosso) sono posti nell'asse verticale.
La Terra si muove lungo la retta nera, che è inclinata in base alla velocità (0,8 c).
L'incontro tra i gemelli avviene nel 3033,33 (20/06 = 33,33) perché gli orologi terrestri scorrono rallentati per tutto il tempo, a una distanza di -26,66 a.l. (33,33 × 0,8 = 26,66).
Tuttavia l'astronave lascia questo sistema di riferimento dopo 6 anni, quando l'orologio terrestre segna il 3003,6 (6 × 0,6 = 3,6) e la Terra dista -4,8 a.l. (8 × 0,6 = 4,8).
Nel secondo tratto l'astronave viaggia a 0,975609 c, come calcolato in precedenza. Durante questo periodo i suoi orologi rallentano di un fattore γ-1 = 0,2195155 e questo spiega perché ci vogliono 4,55 anni per ogni anno aggiuntivo di avanzamento (1/0,2195155 = 4,55).
L'astronave comincia a inviare, una volta l'anno per 6 anni, i segnali (pallini blu, linee verdi). Questi raggiungono la Terra con una cadenza di 1 ogni 3 anni per 18 anni, esattamente come la situazione precedente.
L'astronave ora cambia riferimento inerziale affinché possa ricongiungersi con la Terra. Perché ciò avvenga, deve viaggiare alla velocità, calcolata in precedenza, di 0,975609 c.
Basilio riprende l'invio dei segnali per i restanti 6 anni, però ora il tempo scorre molto più lentamente. Questi 6 segnali arrivano sulla Terra concentrati negli ultimi 2 anni del percorso terrestre.
Anche Arturo invia i suoi segnali (pallini rosa, linee azzurre), sempre 1 ogni anno, per 20 anni.
All'astronave giungono solo 2 nella prima parte (1 ogni 3 anni) e gli altri 18 segnali arrivano a una frequenza di 3 ogni anno.
Alla fine entrambi concordano che Arturo ha inviato 20 segnali e quindi sono trascorsi 20 anni e Basilio ne ha inviati 12, perciò è invecchiato di soli 12 anni.
Si conferma dunque che anche cambiando sistema di riferimento il risultato non cambia.
Il paradosso pertanto non esiste e Basilio è più giovane di Arturo.