Elementi reali
In un cristallo possiamo avere elementi realmente esistenti sulla superficie come le facce, gli spigoli e i vertici e altri elementi che si possono immaginare, come gli elementi di simmetria e gli assi cristallografici.
- Facce: superfici, generalmente piane, che delimitano un cristallo (F).
- Spigoli: le linee che segnano l'incontro tra due facce (S).
- Vertici: i punti di convergenza di più spigoli concorrenti (V).
- Angoli diedri: regioni convesse di spazio comprese tra due facce aventi l'origine in comune.
Relazione di Eulero: mette in relazione le facce, gli spigoli e i vertici. In un cristallo il numero totale delle facce più il numero dei vertici è uguale al numero degli spigoli più due.
F + V = S + 2
Assi cristallografici
Gli assi cristallografici, da non confondere con gli assi cartesiani, sono delle rette scelte in modo da formare tra loro degli angoli uguali a quelli formati da tre spigoli del cristallo. In alcuni casi è opportuno scegliere un sistema a quattro assi.
Si conviene chiamare asse x quello rivolto verso l'osservatore; asse y quello che attraversa da sinistra a destra il cristallo parallelamente all'osservatore; asse z quello dal basso in alto. Quando gli assi sono 4, il quarto si indica con w e lo si pone verticalmente mentre gli altri tre sono perpendicolari o variamente inclinati rispetto all'asse w. In alcune figure si trova l'asse z verticale. Gli assi cristallografici intersecandosi si dividono in una parte positiva e una negativa: l'asse z ha il senso positivo verso l'alto, l'asse y alla destra dell'osservatore, l'asse x è positivo verso l'osservatore.
Gli angoli cristallografici si indicano con α, β, γ. Tra gli assi x e z abbiamo l'angolo β, tra y e z l'angolo α, tra x e y l'angolo γ. Se gli angoli sono quattro, il quarto angolo δ si pone tra gli assi x, y e z con l'asse w.
Con gli assi cristallografici opportunamente fissati in una determinata posizione e con gli elementi di simmetria si possono classificare tutti i cristalli.
Facce, spigoli, vertici
Consideriamo tre assi cristallografici: x, y, z, orientati lungo le facce del cristallo. Una faccia qualsiasi del cristallo giacerà in un piano che potrà tagliare tutti e tre gli assi, potrà tagliarne due ed essere parallelo al terzo, oppure solo uno ed essere parallelo agli altri due.
Le distanze dall'origine ai punti nei quali il piano della faccia taglia gli assi si chiamano parametri o indici di faccia e possono essere tutti finiti, due finiti e uno infinito, uno finito e due infiniti.
Ad esempio (hkl) è il simbolo di una faccia (il significato di hkl lo vediamo qui) che incontra 3 assi dalla parte positiva, mentre (hl) è una faccia che incontra tre assi, ma taglia l'asse delle y dalla parte negativa. Il trattino (-) [leggesi “meno” seguito dall'indice] posto sopra uno degli indici indica che il parametro è negativo rispetto al corrispondente avente origine comune. Facce parallele a uno o due assi, cioè con intercetta infinita, avranno indice uguale a 0, per esempio (hk0), (0kl). I parametri si riferiscono in ordine rispettivamente agli assi x, y, z.
Mantenendo fissi gli assi, immaginiamo di ruotare il cristallo in modo da avere una faccia con parametri finiti su tutti e tre gli assi, cioè giaccia in un piano che non sia parallelo a uno di essi. Questa è la faccia fondamentale.
Le parentesi tonde ( ) sono il simbolo della faccia a cui si riferisce il rapporto (x, y, z) all'interno delle quali si pongono tre parametri cioè gli indici della faccia. Se la croce assiale è a quattro assi allora ci sono 4 indici (hkl) di cui il terzo è la somma negativa dei primi due. Nella faccia fondamentale gli indici sono (111). Le facce che incontrano uno degli assi nel verso negativo (-x, -y, -z) hanno un indice negativo (-). Una faccia parallela a un asse ha indice 0.
Le parentesi quadre [ ] sono il simbolo di uno spigolo, cioè la retta determinata dall'intersezione di due facce. Ad esempio, nel cubo le facce (100) e (001) formano lo spigolo [010].
Le parentesi graffe { } sono il simbolo di tutte le facce equivalenti a quella indicata dagli indici cioè della forma semplice. Con questo termine si intende l'insieme di tutte le facce fisicamente equivalenti e necessariamente coesistenti che, a partire da una faccia fondamentale, si ottengono per effetto dell'azione degli elementi di simmetria.
Ad esempio {100} non è soltanto la faccia anteriore del cubo ma anche le altre 5 facce che hanno lo stesso simbolo anche se gli indici sono cambiati di posto e di segno: (00), (010), (0
0), (001), (00
).
Possono esistere forme semplici chiuse o aperte a seconda che le facce equivalenti che le costituiscono siano o non siano sufficienti per chiudere lo spazio che il cristallo occupa. Ad esempio, il cubo è una forma chiusa, mentre il prisma esagonale ha sei facce parallele a due a due, ma le basi non fanno parte del prisma e costituiscono una forma a parte, perciò siamo di fronte a una forma aperta.
Se le facce che costituiscono una forma non sono uguali, si ha la forma composta, nella quale sono distinguibili due o più forme semplici, tante quanti sono i gruppi di facce uguali.
Più facce di un cristallo si dicono in zona se sono parallele a uno stesso spigolo, che si chiama asse di zona, cioè è l'asse di una zona formata da tutte le facce ad esso parallele. Nel caso del cubo saranno (100), (001), (00), (00
).