Il moto
Un punto è in movimento quando occupa successivamente posizioni diverse, mentre è fermo se si trova sempre nello stesso posto.
Questa definizione è assai imprecisa. Per esempio, se mi trovo su un treno che viaggia verso Venezia sono fermo o in movimento? Dipende. Rispetto al treno sono fermo, ma sono in movimento rispetto alla Terra. Ma anche la Terra non è ferma perché orbita intorno al Sole e il Sole si muove attorno alla nostra Galassia.
Il moto e la quiete sono relativi, perciò è necessario indicare un sistema di riferimento rispetto al quale osservare e misurare un fenomeno fisico.
Poiché non esiste un sistema di riferimento privilegiato, si sceglie quello rispetto al quale il moto dato sia il più semplice possibile.
Da precisare che nello spazio non esistono punti effettivamente fissi, tali da fornire riferimenti assoluti per il moto di altri punti. La quiete assoluta non si può riscontrare in alcun corpo e, di conseguenza, ogni moto è relativo.
Una definizione più completa di moto è la seguente.
Un punto si muove quando occupa successivamente posizioni diverse rispetto a un sistema di riferimento considerato in quiete.
Elementi del moto
Quando affermo che un punto è in movimento, ho una nozione troppo generica e per precisarla devo assegnare i seguenti elementi: la traiettoria, la direzione, il verso e la legge del movimento.
La traiettoria è la linea continua descritta da un punto in movimento.
In ciascun punto della traiettoria si ha una direzione del moto, definita dalla tangente alla curva nel punto stesso. Se il moto è rettilineo, in ogni punto della traiettoria la direzione è parallela/coincide con quella della traiettoria stessa.
Il verso è uno dei due sensi secondo il quale viene percorsa la traiettoria e si indica con una freccia.
La legge del movimento (o equazione oraria) esprime la dipendenza tra lo spazio percorso e il tempo impiegato. Si indica con una funzione:
dove s è lo spazio e t il tempo. Spazio e tempo sono le due grandezze fondamentali della cinematica.
Tale funzione ha lo scopo di precisare il modo in cui viene percorsa la traiettoria in rapporto al tempo, cioè stabilire l'eventuale relazione tra il tempo, contato dall'istante d'origine e lo spazio corrispondente in modo da poter determinare in ogni istante t la posizione del punto sulla traiettoria.
Il moto di un punto è completamente determinato quando si conosce la traiettoria, il verso e l'equazione oraria.
Moto rettilineo uniforme
Un punto materiale è in moto rettilineo uniforme quando si sposta su una retta sempre nello stesso senso e percorre spazi direttamente proporzionali ai tempi impiegati a percorrerli, cioè percorre spostamenti uguali in tempi uguali.
Se il punto materiale, nell'istante t = 0 passa per l'origine O, l'equazione oraria del moto è:
dove v è costante (moto uniforme) e indica lo spazio percorso s (spostamento *) nell'unità di tempo t.
* Inteso come variazione della posizione del punto, dove
Δs = s1 – s0
.
Il moto rettilineo uniforme è dunque un moto a velocità costante.
Velocità
Dall'equazione precedente si ricava una grandezza derivata: la velocità.
La velocità è data dal rapporto tra lo spostamento e il tempo impiegato a compierlo:
La pendenza delle semirette del grafico fornisce un'indicazione della velocità: quanto maggiore è la velocità, tanto più inclinata sarà la semiretta rispetto all'asse dei tempi.
Precisiamo che esistono due tipi di velocità: la velocità istantanea e la velocità media.
In prima approssimazione, la velocità istantanea è quella misurata in ciascun punto del percorso e la velocità media è il rapporto tra lo spazio totale percorso e il tempo impiegato per compierlo.
Nel caso del moto rettilineo uniforme, la velocità istantanea e velocità media coincidono e, poiché è costante, significa che il punto mobile non accelera o decelera lungo tutto il percorso: l'accelerazione è nulla.
Nella figura del paragrafo precedente abbiamo disegnato il segmento v come un vettore.
Infatti, la velocità è una grandezza vettoriale, il cui modulo è dato dal rapporto precedente, la direzione è parallela alla traiettoria e il verso è quello del moto.
Dall'equazione precedente è possibile ricavare, oltre allo spazio, anche il tempo:
L'unità di misura della velocità nel sistema internazionale è il m/s:
È molto in uso anche l'unità di misura km/h:
1 m/s = 3,6 km/h
Per passare da m/s a km/h: ×3,6.
Per passare da km/h a m/s: /3,6.
Moto vario
Di rado si osserva un mobile con moto uniforme; generalmente si tratta di moti vari, dove la velocità cambia continuamente lungo il percorso.
Un moto rettilineo si dice vario quando il punto percorre in tempi uguali spazi disuguali.
Velocità
Velocità media
Poiché il moto non è uniforme, la velocità v non è costante. Per questo possiamo stabilire una velocità media.
Nel moto vario la velocità media (o
) esprime la velocità che il punto avrebbe se percorresse con moto uniforme quel medesimo spazio nello stesso intervallo di tempo.
Nel grafico, la curva rossa rappresenta un esempio di moto vario. Si noti che nella prima parte il punto mobile aumenta progressivamente la sua velocità, poi rallenta per aumentarla nuovamente nel tratto finale. La pendenza della linea verde, cioè della retta passante per OA, rappresenta la velocità media.
Velocità istantanea
Per conoscere la velocità in un preciso punto del percorso in un moto vario, si deve determinare la velocità istantanea , ad esempio quella che leggiamo nel tachimetro di un'automobile.
Approssimativamente, si può usare la formula precedente, purché si scelga un intervallo temporale talmente breve, che nel corso di esso la velocità non abbia subito variazioni apprezzabili. Per il calcolo preciso si rimanda a testi specialistici.
Graficamente, la velocità istantanea è data dalla pendenza della retta tangente alla curva nel punto P nell'istante t.
Accelerazione
Accelerazione media
Abbiamo visto che nel moto vario la velocità si modifica continuamente. Per denotare tali variazioni si introduce una nuova grandezza derivata: l'accelerazione.
L'accelerazione è positiva se la velocità aumenta (moto accelerato); è negativa (decelerazione) se la velocità diminuisce (moto ritardato).
L'accelerazione media (o
) di un punto è il rapporto tra la variazione di velocità e l'intervallo di tempo in cui è avvenuta tale variazione.
Accelerazione istantanea
Se si sceglie un intervallo di tempo abbastanza breve, cioè tale che diminuendo la durata dell'intervallo di tempo l'accelerazione media non subisce variazioni apprezzabili, abbiamo l'accelerazione istantanea . Per il calcolo preciso si rimanda a testi specialistici.
Nel grafico, la curva rossa rappresenta un esempio di moto vario. L'accelerazione media nel tratto AB è rappresentato dal segmento verde che congiunge i due estremi. L'accelerazione istantanea nel punto P è rappresentata dalla pendenza della retta azzurra tangente in tale punto nell'istante t.
L'accelerazione è una grandezza vettoriale, essendo espressa dal rapporto tra una grandezza vettoriale e una grandezza scalare t.
L'accelerazione è nulla quando la velocità è nulla (moto rettilineo uniforme) e diversa da 0 ogni volta che cambia la velocità.
L'unità di misura dell'accelerazione nel Si è:
Moto rettilineo uniformemente accelerato
Il moto rettilineo uniformemente accelerato è un moto che avviene su una traiettoria rettilinea e l'accelerazione, in ogni istante, è costante, cioè la velocità istantanea, inizialmente nulla subisce aumenti uguali in tempi uguali.
La seguente equazione esprime la legge della velocità istantanea nel moto uniformemente accelerato, se il punto parte da uno stato di quiete.
Di conseguenza, l'accelerazione - media e istantanea coincidono - è la variazione di velocità nell'intervallo di tempo; anche qui supponiamo che la velocità iniziale sia nulla nell'istante iniziale t0 = 0:
Un esempio di questa equazione è rappresentato nel sottostante grafico, dove la pendenza della retta dipende dal valore dell'accelerazione. In ordinata abbiamo la velocità e in ascissa il tempo.
Se a < 0 la semiretta ha pendenza negativa, cioè viene a trovarsi nella metà sottostante del grafico.
La velocità media è la media tra la velocità iniziale v0 e quella finale v, sempre supponendo che la velocità iniziale sia nulla nell'istante iniziale t0 = 0:
Dall'equazione della velocità si può risalire alla legge oraria del moto uniformemente accelerato.
Sapendo che:
e sostituendo v con la precedente otteniamo:
Il grafico è rappresentato da un ramo di parabola con il vertice nell'origine.
Riassumendo, nel moto rettilineo uniformemente accelerato:
- l'accelerazione è costante,
- l'accelerazione media e istantanea coincidono,
- la velocità è direttamente proporzionale al tempo,
- lo spazio percorso è proporzionale al quadrato del tempo.
Moti curvilinei
Si ha un moto curvilineo quando la traiettoria del punto mobile è una linea curva: circonferenza, parabola, ellisse, ecc.
Velocità
In un moto curvilineo possiamo identificare il vettore velocità in un punto P nell'istante t.
Questo è il vettore che origina nel punto P, orientato nel verso del moto, con modulo v coincidente con la velocità scalare istantanea calcolata nello stesso istante e con la direzione tangente alla traiettoria nel punto P per cui transita nell'istante t.
Esaminiamo il seguente grafico.
La curva rossa rappresenta un moto curvilineo orientato. Il punto si muove da P0 a P1 negli istanti rispettivamente e
.
e
rappresentano i vettori di posizione rispetto all'origine delle coordinate.
Lo spostamento da P0 a P1, applicando la regola della differenza di due vettori, è dato da:
Se l'intervallo durante il quale avviene lo spostamento è Δt = t1 - t0, la velocità vettoriale è data dal rapporto tra il vettore spostamento e l'intervallo di tempo Δt necessario per compiere tale spostamento:
Se si considera Δt così piccolo da tendere a 0, si ha la velocità istantanea e il vettore ha direzione tangente alla traiettoria nel punto considerato, come descritto all'inizio del paragrafo.
Se il punto P0 coincide con l'origine, la formula precedente si semplifica in:
Accelerazione
Poiché nel moto curvilineo la velocità vettoriale cambia di direzione da istante a istante, si ha sempre un'accelerazione vettoriale data da:
La direzione e il verso sono dati da , che è la differenza tra i due vettori. Il modulo è:
Se l'intervallo Δt tende a 0 si ha l'accelerazione vettoriale istantanea.
Il vettore accelerazione , che ha sempre direzione verso la concavità della traiettoria, può essere scomposto in due componenti:
- accelerazione tangenziale
, con direzione lungo la tangente alla traiettoria e verso uguale al moto del punto; essa esprime il cambiamento del modulo della velocità (Δv/Δt), cioè la variazione della sua lunghezza nell'intervallo temporale;
- accelerazione centripeta o normale
, con direzione perpendicolare alla precedente e verso diretto verso il centro di curvatura della traiettoria; essa esprime la variazione di direzione del vettore velocità nell'intervallo temporale.
Moto circolare uniforme
Il moto circolare uniforme è il moto di un punto P che percorre su una circonferenza archi uguali in tempi uguali, con velocità vettoriale e modulo v costante.
Poiché la traiettoria è una linea chiusa, percorsa con moto uniforme, P torna a passare con la stessa velocità per un medesimo punto dopo intervalli di tempo uguali, ciascuno dei quali rappresenta il periodo T del moto, ovvero le distanze percorse sulla circonferenza in tempi uguali sono uguali. Il periodo T del moto, quindi, indica il tempo impiegato per compiere l'intera circonferenza. Si tratta quindi di un moto periodico.
Ogni moto che si ripete a intervalli di tempo uguali si definisce moto periodico.
Nel moto circolare uniforme il vettore spostamento (indicato altrove anche con
), il vettore velocità
e il vettore accelerazione
riprendono gli stessi valori nell'intervallo di tempo pari a un periodo.
Possiamo qui introdurre una nuova grandezza, la frequenza.
La frequenza f è definita come il numero di giri compiuti dal punto mobile in un secondo. Questa è in relazione con il periodo T:
Velocità
Data una circonferenza di raggio r, chiamato raggio vettore, e un punto P che percorre tale circonferenza in un periodo T, la velocità scalare è:
Il vettore velocità istantanea :
- è tangente alla circonferenza,
- ha modulo costante v,
- ma direzione continuamente variabile in modo da subire deviazioni uguali in tempi uguali.
Sostituendo il periodo con la frequenza otteniamo:
Possiamo distinguere due tipi di velocità: lineare e angolare.
Si chiama velocità lineare (o tangenziale, o periferica) il valore scalare della velocità di spostamento del punto lungo la circonferenza, cioè è il rapporto tra lo spazio percorso durante un giro completo e il tempo impiegato a compierlo. Si misura in m/s e la formula è quella proposta sopra.
La velocità lineare è quindi direttamente proporzionale al raggio.
La velocità può anche essere espressa come variazione dell'ampiezza dell'angolo descritto nell'unità di tempo e si chiama velocità angolare ω. A parità di tempo, è costante indipendente dal raggio e si misura in rad/s *.
* La misura dell'angolo giro è espressa in radianti, dove il radiante, nel
SI
è definito come l'angolo al centro che intercetta su una circonferenza un arco di lunghezza pari al raggio.
Nella figura si vede che, all'aumentare del raggio, la lunghezza dell'arco AB aumenta mentre l'angolo al centro rimane costante.
Dalle due formule si ricava la relazione tra velocità lineare e angolare:
Accelerazione
Nel moto circolare uniforme l'accelerazione tangenziale è sempre nulla perché la velocità è costante, ma si ha un'accelerazione centripeta - perché il vettore velocità cambia continuamente direzione - che tende a riportare il punto mobile in ogni istante sulla sua traiettoria, il cui modulo costante è:
Il vettore è tangente alla circonferenza, il vettore
dell'accelerazione, considerato nello stesso istante, è perpendicolare a
e costantemente rivolto verso il centro. Da qui il nome di accelerazione centripeta.
Moto armonico
Il moto armonico è un particolare tipo di moto periodico, molto importante per lo studio delle onde sonore, luminose ed elettromagnetiche.
Moto oscillatorio
Esaminiamo prima un generico moto oscillatorio.
Si ha un moto oscillatorio quando un punto P percorre un segmento AB compiendo piccole escursioni attorno a un punto fisso O in modo che a ogni periodo il moto riprenda le medesime caratteristiche.
- Il percorso completo, cioè quello che il punto compie per ritornare nella stessa posizione e con le stesse condizioni di moto si chiama oscillazione completa.
- Il centro di oscillazione O si trova nel punto medio del percorso.
- Il periodo T è l'intervallo di tempo costante in cui il punto compie un percorso completo.
- La frequenza f è il numero di oscillazioni al secondo. L'unità di misura nel SI è l'hertz (Hz).
- Lo spostamento
, (nei paragrafi precedenti indicato con
) detto anche elongazione, per convenzione è un vettore che ha modulo positivo se avviene verso destra e negativo verso sinistra.
- L'ampiezza è la massima distanza del punto P dal centro di oscillazione O.
Moto armonico semplice
Tra i moti oscillatori descriviamo il moto armonico semplice.
Il moto armonico semplice si ha quando il moto del punto P sul segmento AB è la proiezione, a ogni istante, di un punto M in moto circolare uniforme, il cui diametro è il segmento AB.
Nel percorrere la circonferenza, la sua proiezione oscilla sul diametro AB e viceversa (vedi animazione).
La velocità e l'accelerazione
del moto armonico si ottengono proiettando sull'asse x la velocità
e l'accelerazione centripeta
del punto M in moto lungo la circonferenza.
La velocità ha modulo e verso variabili: ai due estremi è nulla perché il moto si arresta per un istante e poi il punto torna indietro; andando da A verso il centro la velocità, positiva, aumenta costantemente fino a raggiungere in O il valore massimo; spostandosi verso B diminuisce progressivamente fino ad azzerarsi quando lo raggiunge.
Spostandosi da B ad A, la velocità ha le stesse caratteristiche ma segno opposto.
La variazione di velocità nel tempo fa sì che esista un'accelerazione.
Nel tratto AO la velocità aumenta e quindi l'accelerazione, diretta verso O, è positiva.
Nel tratto OB, dove la velocità diminuisce, l'accelerazione ha verso contrario al moto (negativa). Di conseguenza, se nel primo tratto è positiva e nel secondo è negativa, in O deve essere nulla.
Le stesse considerazioni valgono quando il punto si muove da B ad A.
Se confrontiamo questa figura con la prima che riguarda lo spostamento, rileviamo che l'accelerazione ha sempre segno contrario rispetto allo spostamento, cioè è sempre diretta verso il centro.
Riassumiamo gli elementi in tabella.
Con questi dati creiamo il diagramma in funzione della velocità e dell'accelerazione e contemporaneamente il diagramma orario del moto armonico.
Osserviamo che si ha una linea sinusoide in cui la massima distanza dall'asse delle ascisse definisce l'ampiezza delle oscillazioni. L'intersezione della sinusoide sempre con l'asse delle ascisse indica il passaggio per il centro.
Dal confronto dei grafici si può vedere (e lo si può dimostrare) che al crescere dello spostamento cresce anche l'accelerazione, perciò l'accelerazione è direttamente proporzionale allo spostamento:
* Il segno meno è dovuto al fatto che il vettore accelerazione ha sempre verso contrario del vettore spostamento.
Da questa proporzionalità deriva che il periodo è indipendente dall'ampiezza dell'oscillazione.
Può sembrare strano perché se aumenta l'ampiezza dell'oscillazione aumenta anche il percorso e quindi dovrebbe aumentare anche il periodo. Agli estremi aumenta però anche l'accelerazione e quindi la velocità media, che va a compensare il percorso più lungo.
Considerando che il moto di P è prodotto dalla proiezione di un moto circolare uniforme, possiamo anche dimostrare che:
La costante ω nel moto circolare uniforme è la velocità angolare e nel moto armonico è detta pulsazione.
Si conferma quindi che c'è una relazione di proporzionalità diretta tra accelerazione e spostamento.
Ricordando che ω = 2π/T, possiamo scrivere:
da cui ricaviamo il periodo, senza tenere conto del segno:
Composizione di movimenti
Immaginiamo di passeggiare lungo un corridoio di un treno in corsa. Si tratta di un moto composto, formato da due moti componenti. Il problema è trovare il moto risultante. Per determinarlo si applica il principio di Galileo sulla composizione dei movimenti: lo spostamento risultante è dato dalla somma vettoriale dei due spostamenti componenti, secondo le regole viste in precedenza.
Più in generale, il principio di Galileo afferma che un punto soggetto contemporaneamente a due o più movimenti si trova a ogni istante in quel punto dello spazio e in quello stato di moto nel quale verrebbe a trovarsi se fosse stato soggetto, durante lo stesso tempo, ai singoli movimenti separatamente e successivamente. Si tratta quindi di scomporre un movimento complesso in due o più movimenti semplici.